Верна ли гипотеза Римана?

Вопрос

Простые числа — 2, 3, 5, 7, 11, 13 и так далее, числа, которые делятся только на единицу и на себя, — выглядят разбросанными почти случайно. Но в среднем они подчиняются закону: около числа x простым оказывается примерно одно из каждых ln x чисел. Вопрос в том, насколько точно простые числа следуют этому закону и как далеко могут от него отклоняться.

В 1859 году Бернхард Риман написал восьмистраничную статью, единственную свою работу по теории чисел. Он показал, что точное распределение простых чисел зашифровано в нулях функции, которую теперь называют дзета-функцией Римана, и почти мимоходом заметил, что все эти нули, «весьма вероятно», лежат на одной прямой. Доказать это он не смог и отложил вопрос. С тех пор этого не доказал никто.

Что известно

Дзета-функция начинается как сумма 1 + 1/2^s + 1/3^s + …, продолженная на комплексные числа s. Её «тривиальные» нули находятся в точках −2, −4, −6 и так далее. Все остальные нули лежат в узкой полосе, и гипотеза утверждает, что у всех у них действительная часть равна ровно 1/2: они лежат на «критической прямой».
В 1896 году Жак Адамар и Шарль-Жан де ла Валле-Пуссен доказали, что на краю полосы нулей нет. Этого хватило, чтобы доказать теорему о распределении простых чисел — их средний закон.
В 1914 году Годфри Харди доказал, что на критической прямой лежит бесконечно много нулей. Позднее показали, что там лежат не меньше 40% из них. Но «большинство» — не «все», и один-единственный нуль вне прямой опроверг бы гипотезу.
Компьютеры проверили первые триллионы нулей: все до одного лежат на прямой.
Если гипотеза верна, простые числа отклоняются от своего среднего закона минимально возможным образом — примерно на квадратный корень из рассматриваемых чисел. Сотни опубликованных теорем доказаны в предположении, что она верна.
Вариант гипотезы для кривых над конечными полями, алгебраических аналогов обычных чисел, доказан: для кривых — Андре Вейлем в 1940-х, в полной общности — Пьером Делинем в 1974 году.
В 1900 году Давид Гильберт включил гипотезу в свой знаменитый список проблем, а в 2000 году Математический институт Клэя сделал её одной из семи задач тысячелетия с премией в миллион долларов.

Основные гипотезы

Нули — это собственные значения

Около 1912 года Гильберт и Пойа предположили, что нули могут быть уровнями энергии некой физической системы. Такие уровни по своей природе — действительные числа, и это заставило бы нули лечь на прямую. В 1972 году Хью Монтгомери обнаружил, что промежутки между нулями подчиняются той же статистике, что и уровни энергии тяжёлых атомных ядер, описываемые случайными матрицами. Эндрю Одлыжко позже с большой точностью подтвердил это численно. Саму систему пока не нашли.

Перенести доказательство Делиня

Вариант для конечных полей доказан с помощью мощной геометрии. Многие математики надеются построить похожую геометрию для обычных чисел, но никто не знает, какой должна быть «кривая», стоящая за обычными целыми числами.

Она может оказаться неверной

Меньшинство сомневается. Высоко на прямой нули подходят очень близко друг к другу, и контрпример может оказаться слишком большим для любого компьютера. Для некоторых родственных функций со схожими свойствами аналогичные утверждения оказываются ложными.

Где заканчивается понимание

У нас огромное количество свидетельств и нет доказательства. Триллионы проверенных нулей значат меньше, чем кажется: в теории чисел закономерности иногда держатся до астрономически больших чисел, а потом ломаются, поэтому численные данные не могут решить вопрос.

Более глубокий пробел в том, что мы не понимаем, почему нули должны лежать на прямой. Известные методы дают либо «большинство нулей», либо «нет нулей в больших областях», и ничто не говорит о том, что их улучшение приведёт к «всем». В 2024 году Ларри Гут и Джеймс Мейнард впервые за десятилетия заметно улучшили оценку того, сколько нулей может лежать вне прямой. Этот результат отмечали именно потому, что прогресс так редок, и он всё ещё очень далёк от полного утверждения.

Математики в целом считают, что для доказательства понадобится новая идея о строении целых чисел, а не более хитрый расчёт.

Что могло бы дать ответ

Доказательство: скорее всего, через новую математическую структуру, объясняющую связь между нулями, случайными матрицами и геометрией, которая сработала для конечных полей.
Контрпример: один нуль вне критической прямой, найденный вычислением или построенный теоретически.
Доказательство того, что гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть из стандартных аксиом. Для утверждения такого вида это считается маловероятным: если бы оно было недоказуемо, не могло бы существовать и контрпримера, и гипотеза фактически оказалась бы верной.