Бесконечно ли много простых чисел-близнецов?

Вопрос

С ростом чисел простые числа встречаются всё реже, но время от времени два из них оказываются рядом, разделённые лишь одним чётным числом: 3 и 5, 11 и 13, 17 и 19, 41 и 43. Такие пары называют простыми числами-близнецами. Компьютеры находили их среди чисел из сотен тысяч цифр.

Продолжаются ли они бесконечно? Евклид более двух тысяч лет назад доказал, что простых чисел бесконечно много. Тот же вопрос для близнецов выглядит почти таким же простым. В 1849 году французский математик Альфонс де Полиньяк сформулировал более общую версию: каждое чётное число бесконечно много раз встречается как расстояние между соседними простыми числами. Для расстояния 2 доказать это никому не удалось.

Что известно

• Близнецы редеют, но медленно. В 1919 году Вигго Брун показал, что сумма обратных величин всех простых-близнецов сходится к конечному числу, в отличие от суммы для всех простых чисел. Значит, близнецы встречаются гораздо реже простых. Но его результат не говорит, кончаются ли они.
• В 1923 году Годфри Харди и Джон Литлвуд точно предсказали, сколько должно быть близнецов до любой заданной величины. Компьютерные подсчёты совпадают с их формулой с поразительной точностью — гораздо дальше того места, где контрпример был бы хоть сколько-нибудь правдоподобен.
• В 1973 году Чэнь Цзинжунь доказал, что существует бесконечно много простых p, для которых p + 2 либо простое, либо произведение двух простых. Ближе классические методы не подошли.
• В 2005 году Дэниел Голдстон, Янош Пинц и Джем Йылдырым показали, что простые числа иногда располагаются намного ближе друг к другу, чем в среднем. Их методу немного не хватило, чтобы дать фиксированную границу.
• В 2013 году Итан Чжан, тогда малоизвестный преподаватель Университета Нью-Гэмпшира, доказал, что существует бесконечно много пар простых чисел, отстоящих друг от друга меньше чем на 70 миллионов. Это было первое доказательство того, что промежутки не растут неограниченно.
• За несколько месяцев открытое онлайн-сотрудничество — проект Polymath — уменьшило эту границу. Джеймс Мейнард и независимо от него Теренс Тао нашли более простой и сильный метод, и к 2014 году граница составила 246. В 2022 году Мейнард получил Филдсовскую медаль, в том числе за эту работу.

Основные гипотезы

Гипотеза верна

Почти все математики считают, что простых-близнецов бесконечно много и что формула Харди — Литлвуда правильно их описывает. Численные данные и эвристические рассуждения указывают в одну сторону. Вопрос на самом деле не в том, верно ли это, а в том, как это доказать.

Улучшение решета

Почти весь прогресс принесли «методы решета», которые отсеивают числа с малыми делителями. Если принять широко признанную гипотезу о том, насколько равномерно распределены простые числа, — гипотезу Эллиотта — Халберстама, — граница опускается до 12, а при её более сильной версии — до 6.

Нужна новая идея

Известно препятствие. Методы решета не умеют отличать числа с нечётным количеством простых множителей от чисел с чётным — это так называемая проблема чётности, выявленная Атле Сельбергом. Похоже, она не позволяет ни одному методу решета дойти до расстояния ровно 2. Большинство специалистов считают, что для доказательства понадобится по-настоящему новая идея.

Что могло бы дать ответ

• Метод, преодолевающий барьер чётности в теории решета, — или принципиально иной подход к промежуткам между простыми числами.
• Доказательство гипотезы Эллиотта — Халберстама, которое опустило бы границу хотя бы до 12.
• Контрпример нереалистичен: никакой конечный перебор не может показать, что близнецы кончаются, поэтому вопрос можно решить только доказательством.