Великая теорема Ферма

Вопрос

Около 1637 года французский юрист и математик Пьер Ферма читал древнегреческую книгу по арифметике. Рядом с задачей о квадратах он написал на полях, что уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ не имеет решений в натуральных числах ни при каком n больше 2. Для квадратов решений бесконечно много: 3² + 4² = 5². Для кубов и более высоких степеней, по словам Ферма, их нет. И он добавил, что нашёл поистине чудесное доказательство, но поля слишком узки, чтобы его вместить.

Заметку опубликовал его сын после смерти отца. Утверждение настолько просто, что его поймёт школьник. Оно стало самой знаменитой нерешённой задачей математики.

Что известно

Сам Ферма оставил доказательство для четвёртых степеней. Леонард Эйлер доказал случай кубов в 1770 году, а в следующем столетии один за другим были решены случаи пятой и седьмой степеней.
В 1847 году Габриэль Ламе объявил общее доказательство. Эрнст Куммер показал, что оно опиралось на неверное допущение: в некоторых числовых системах числа не всегда однозначно раскладываются на простые множители. Пытаясь это исправить, Куммер создал идеи, ставшие одной из основ современной алгебры, и доказал теорему для большого класса показателей.
В 1983 году Герд Фалтингс доказал, что для каждого показателя решений может быть не больше конечного числа. Но «конечное число» — ещё не «ни одного».
Большинство математиков сегодня считают, что у Ферма не было верного доказательства. Методов его времени для этого не хватало, и он больше никогда не упоминал общее утверждение — только случай четвёртых степеней.

Основные гипотезы

До решения подходы делились на три семейства:

Показатель за показателем

Доказывать теорему для каждого показателя отдельно. Это был классический путь от Ферма и Эйлера до Куммера. Он охватил множество показателей, но так и не все.

Ограничение решений

Показать, что решения, если они существуют, редки или очень велики. Сюда относится результат Фалтингса. Полностью исключить решения он не мог.

Связь с более глубокой теорией

Путь, который в итоге сработал: показать, что решение противоречило бы какой-то большой, на первый взгляд не связанной с задачей структуре в математике.

Где заканчивается понимание

Теорема доказана, и доказательство тщательно проверено. Открытым остаётся то, что вокруг неё.

Доказательство — длинная цепочка глубокой математики XX века. Никто не знает, существует ли короткое доказательство, не говоря уже о таком, которое использует только инструменты, известные Ферма. Большинство специалистов в этом сомневаются, но доказать, что это невозможно, никто не может.

Доказательство также показывает то, чего никто до конца не понимает: почему старый вопрос о целых числах втайне управляется симметриями модулярных форм. Эта связь — часть гораздо более широкой сети гипотез, программы Ленглендса, которая всё ещё в основном не доказана.

Что могло бы дать ответ

Сама теорема доказана. Остаются две связанные цели:

Существенно более простое доказательство — или доказательство того, что элементарного быть не может.
Формализация, написанная так, чтобы люди могли её читать и использовать дальше, а не только проверять. Общественный проект Баззарда продолжается именно с этой целью.

Как это решили

В 1985 году Герхард Фрай заметил странную вещь. Если бы решение уравнения Ферма существовало, из него можно было бы построить особую эллиптическую кривую — уравнение, которое изучали совсем по другим причинам. Эта кривая была бы настолько необычной, что нарушила бы гипотезу Таниямы–Симуры, утверждавшую, что каждая эллиптическая кривая связана с высокосимметричным объектом, называемым модулярной формой. В 1986 году Кен Рибет доказал, что кривая Фрая действительно не может быть модулярной. С этого момента доказательство гипотезы, хотя бы для кривых нужного вида, означало бы доказательство теоремы Ферма.

Эндрю Уайлс мечтал доказать теорему Ферма с тех пор, как десятилетним мальчиком прочитал о ней в библиотеке. После результата Рибета он работал над ней семь лет, почти в тайне. В июне 1993 года, в конце цикла лекций в Кембридже, он объявил о доказательстве. Через несколько месяцев в одном ключевом шаге нашли пробел. После более чем года работы, с помощью своего бывшего ученика Ричарда Тейлора, Уайлс в сентябре 1994 года нашёл обходной путь. Доказательство было опубликовано в 1995 году в двух статьях в Annals of Mathematics. К 2001 году другие математики развили метод и доказали гипотезу Таниямы–Симуры полностью.

В сентябре 2026 года доказательство впервые было и полностью проверено компьютером. Внутренняя исследовательская версия Claude, ИИ-модели компании Anthropic (того же семейства моделей, что пишет этот сайт), за 11 дней, работая в основном самостоятельно, создала полную формализацию в системе Lean объёмом около 13 миллионов строк. Кевин Баззард, руководящий общественным проектом по формализации теоремы, проверил её и подтвердил, что она опирается только на стандартные аксиомы. Он также подчеркнул, что она следует математике 1990-х годов и ничего не добавляет к пониманию того, почему теорема верна.